2021 수능 수학 (가)형 21번

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1.  문제 분석 및 풀이 설계

가장 먼저 문제에서 구하라고 하는 것의 형태가 어떠한지 살피는 습관을 들이자.
운이 좋으면 끝까지 풀지 않고도 답을 구할 수 있다.

 

$a_1$의 값이 주어지지 않았고, 문제에서 물어보는 것도 값이 아니라 비율 $\frac{a_8}{a_1}$이다.

$a_1$의 값은 조건이 없어 못 구할 가능성이 크다는 것을 염두에 두고, 주어진 조건을 조합해서 $a_8 = k \times a_1$의 꼴의 식을 얻는 것을 목표로 잡자.

 

식을 최대한 단순하게 만들자.

• 시험장에서 안 그래도 바쁜데 일일이 밑첨자 쓸 시간은 없다. $a_1 = a$라고 써놓고 안 까먹게 크게 박스를 쳐놓자.

• 조건 (가)와 (나)의 꼴을 보면 $a_2$도 많이 나올 것 같다. $a_2 = b$에다가 크게 박스를 쳐놓자.

• (가) 식에서 $n = 1$을 넣고 (가)를 정리하면 $b = ab + 1$이다. 따라서 $b(1 - a)= 1$. 여기에도 박스 하나.

 

무엇을 알고 있는지, 무엇을 구해야 하는지, 무엇이 필요한지 정리하자.

$a_8 - a_{15} = 63$ 조건을 사용하기 위해서는 $a_8$ 과 $a_{15}$ 도 필요하다.

조건 (가)는 $n$으로 $2n$을, 조건 (나)는 $n$으로 $2n + 1$을 구하는 식이므로 다음과 같이 계획을 세우자.

• $a_2 \longrightarrow a_4 \longrightarrow a_8$ : 조건 (가) 이용

• $a_1 \longrightarrow a_3 \longrightarrow a_7 \longrightarrow a_{15}$ : 조건 (나) 이용

 

이제 남은 건 계산 뿐. 촉박한 시험장에서 계산 실수하지 않도록 꼭! 주의하자.

 

2.  $a_8$ 구하기

• $a_4 = (a_2)^2 + 1 = b^2 + 1$

• $a_8 = a_2 \times a_4 + 1 = b(b^2 + 1) + 1 = b^3 + b + 1$

3. $a_{15}$ 구하기

• $a_3 = a_2 \times a_1 - 2 = ab - 2$

• $a_7 = a_2 \times a_3 - 2 = b(ab - 2) - 2 = ab^2 - 2b - 2$

• $a_{15} = a_2 \times a_7 - 2 = b(ab^2 - 2b - 2) - 2 = ab^3 - 2b^2 - 2b - 2$

4.  식 정리하기

$a_8 - a_{15} = (1 - a)b^3 + 2b^2 + 3b + 3 = 3b^2 + 3b + 3 = 63$

$b^2 + b - 20 = 0$

$\therefore b = 4$  또는 $b = -5$

 

$b$ 가 여러 개 나왔다고 당황하지 말고 앞에서 박스쳤던 조건들에게 놓친게 없는지 찾아보자. 

문제에 따라 두 가지 모두를 고려해야 하는 문제가 있고, 한 가지만 고려해도 되는 문제가 있으니 내가 그냥 넘어간 조건이 있는지 살펴봐야 한다.

 

빠진 조건을 찾았다. $0 < a < 1$라는 조건, 그리고 $b = \frac{1}{1 - a}$에서 $b$는 음수가 될 수 없기 때문에 $b = 4$.

 

예상과는 다르게 $a$ 값도 구할 수 있게 되었다.

$$a = 1 - \frac{1}{b} = \frac{3}{4}$$

문제를 풀다보면 처음 했던 예상과 다르게 흘러갈수도 있다. 수능 문제는 대부분 풀이와 답이 명확하기 때문에 자신을 믿고 앞으로 나아가자.

 

5.  결론

따라서, 구하려는 $\displaystyle \frac{a_8}{a_1}$의 값은 $a_8 = 4^3 + 4 + 1 = 69$, $a_1 = \frac{3}{4}$이므로

$$69 \times \frac{4}{3} = 92$$

 

정답. 2번