2021 수능 수학 (가)형 29번

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1.  문제 분석 및 풀이 설계

가장 먼저 문제에서 구하라고 하는 것의 형태가 어떠한지 살피는 습관을 들이자.
운이 좋으면 끝까지 풀지 않고도 답을 구할 수 있다.

 

경우의 수 문제다. 29번 정도되는 확통 문제는 순열 조합 한두 번으로 끝나지 않을 가능성이 높기 때문에 마음의 준비를 하자.

 

무엇을 알고 있는지, 무엇을 구해야 하는지, 무엇이 필요한지 정리하자.

 

다수의 조건이 주어진 경우의 수 문제는 '좋은' 조건에서 시작하는 것이 가장 좋다. 여러 개의 제약 조건이 겹쳐져 있을 수록 '좋은' 조건으로, 특정한 대상 또는 특정한 숫자가 정해져 있어 범위를 한정시킬 수 있는 조건을 말한다.

• (가)  모든 학생은 1개 이상의 모자를 받는다.

• (나)  학생 A가 받는 검은색 모자의 수는 4 이상이다.

• (다)  흰색 모자보다 검은색 모자를 더 많이 받는 학생은 A를 포함하여 2명뿐이다.

조건 (나)와 조건 (다)가 3개의 제약 조건을 가지므로 여기에서부터 문제 풀이를 시작해보자.

2.  학생 A의 검은색 모자 개수에 따른 케이스 분리

다음과 같은 간단한 도표를 사용해 모자가 어떻게 분배되었는지 경우의 수를 고려해보자.

조건 (나)에 따르면 학생 A가 가질 수 있는 검은색 모자는 4개, 5개, 6개 중 하나이지만, 조건 (다)에 의해 검은색 모자 6개는 가질 수 없음을 알 수 있다.

 

a. A가 검은색 모자를 4개 가질 때

이제 남은 검은색 모자는 2개이다. 남은 검은색 모자 2개 어떻게 나누느냐에 따라 다시 경우가 갈린다.

 

        i. 남은 검은색 모자 2개를 같은 사람이 가질 때

        B가 검은색 모자를 가져갔다고 가정하자. 이제 흰색 모자 6개를 조건에 맞게 적절히 나누면 된다.

	A	B	C	D
검은색	4	2	0	0
흰색	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$

$0 \leq x_1 < 4, \, 0 \leq x_2 < 2, \, x_3 > 0, \, x_4 > 0, \, x_1+x_2+x_3+x_4=6 \longrightarrow 24$

(검은색 모자를 가져간 사람을 택하는 경우의 수) $=$ (B, C, D 중 1명을 택하는 경우의 수) = $3$

$\therefore 24 * 3 = 72$

 

 

        ii. 남은 검은색 모자 2개를 다른 사람이 가질 때

        B와 C가 검은색 모자를 하나씩 가져갔다고 가정하자. 이제 흰색 모자 6개를 조건에 맞게 적절히 나누면 된다.

        조건 (다)에서 말하는 '흰색 모자보다 검은색 모자를 더 많이 받는 사람'이 B라고 가정하자.

	A	B	C	D
검은색	4	1	1	0
흰색	$x_1$	0	$x_2$	$x_3$

$0 \leq x_1 < 4, \, x_2 > 1, \, x_3 > 0, \, x_1+x_2+x_3=6 \longrightarrow 14$

(검은색 모자를 가져간 사람을 택하는 경우의 수) $\times$ ('흰색 모자보다 검은색 모자를 더 많이 받는 사람'을 택하는 경우의 수)= $3 \times 2 = 6$

$\therefore 14 * 6 = 84$

 

b. A가 검은색 모자를 5개 가질 때

이제 남은 검은색 모자는 1개이다. 검은색 모자를 B가 가졌다고 가정하면 조건 (다)에 의해 B는 흰색 모자를 가져서는 안된다.

나머지 세 명에게 흰색 모자 6개를 조건에 맞게 적절히 나누면 된다.

	A	B	C	D
검은색	5	1	0	0
흰색	$x_1$	0	$x_2$	$x_3$

$0 < x_1 < 5, \, x_2 > 0, \, x_3 > 0, \, x_1+x_2+x_3=6 \longrightarrow 15$

(검은색 모자를 가져간 사람을 택하는 경우의 수) $=$ (B, C, D 중 1명을 택하는 경우의 수) = $3$

$\therefore 15 * 3 = 45$

 

5.  결론

세 가지 경우를 종합했을 때 총 경우의 수는

$72 + 84 + 45 = 201$

 

정답. 201