2021 수능 수학 (가)형 28번

 

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1.  문제 분석 및 풀이 설계

가장 먼저 문제에서 구하라고 하는 것의 형태가 어떠한지 살피는 습관을 들이자.
운이 좋으면 끝까지 풀지 않고도 답을 구할 수 있다.

 

$f(x)$의 원형이 주어지고 $f(8)$의 값을 물어보았기 때문에 미지수에 값을 채워 넣어서 $f(x)$를 특정짓는 문제로 보인다. $a$와 $b$의 값을 구하는 것을 목적으로 삼고 주어진 조건들을 활용해보자.

 

무엇을 알고 있는지, 무엇을 구해야 하는지, 무엇이 필요한지 정리하자.

 

$g(x)$는 식이 완벽히 주어져 있기 때문에 $g(x)$와 $ g^{-1}(x)$에 대해서는 완벽히 알고 있다.

구하기 쉬워 보이는 조건 (나)부터 합성함수 미분법 및 역함수 미분법으로 정리해보자.

 

$g(1) = 3$ 이므로 $g^{-1}(3) = 1$

$ \displaystyle h^{'}(3) = (f \circ g^{-1})^{'}(3) = f^{'}(1) \times (g^{-1})^{'}(3) = f^{'}(1) \times \frac{1}{g^{'}(1)} = \frac{f^{'}(1)}{4} = 2$

$ \therefore f^{'}(1) = 8$

 

이제 조건 (가)의 함수 $(x - 1)|h(x)|$를 분석해보자.

미분 가능한 두 함수 $f(x), g(x)$의 곱은 항상 미분 가능하고, 그 값은 $f^{'}(x)g(x) + f(x)g^{'}(x)$임이 알려져 있다. 

• $(x - 1)$는 다항함수이므로 실수 전체에서 미분 가능하다. 

• 만약 $h(x)$가 0인 $x$가 있다면 $|h(x)|$는 미분 불가능할 가능성이 있다는 점에 착안하여 $h(x) = (f \circ g^{-1})(x) = 0$인 점을 분석한다. 

2.   $h(x)$ 분석하기

$f(x) = 0$인 $x$는 오직 $a$ 와 $b$뿐이다. 즉, $g^{-1}(x)$가 $a$ 또는 $b$일때 $h(x)$는 0이다.

다항함수 $g(x)$는 실수 전체에서 미분 가능하며 $g^{'}(x) > 0$이므로 $g^{-1}(x)$는 항상 미분 가능하다.

 

$ \displaystyle h(x) = (x - 1)\left|(g^{-1}(x) - a)(g^{-1}(x) - b)^2\right| = (x - 1)(g^{-1}(x) - b)^2 \left|(g^{-1}(x) - a)\right|$

 

$(g^{-1}(x) - b)^2$는 항상 미분 가능하다. 따라서 $h(x)$가 항상 미분 가능하기 위해서는 $(x - 1) \left| g^{-1}(x) - a \right|$가 항상 미분 가능해야 한다.

$g^{-1}(x) - a = 0$인 $x = t$에 대해서 좌우미분계수를 구해보자. 

• $\displaystyle \lim_{x \to t-} \left| g^{-1}(x) - a \right| + (x - 1) (-(g^{-1})^{'}(x)) = (t - 1) (-(g^{-1})^{'}(t))$ 

• $\displaystyle \lim_{x \to t+} \left| g^{-1}(x) - a \right| + (x - 1) ((g^{-1})^{'}(x)) = (t - 1) ((g^{-1})^{'}(t))$ 

$(g^{-1})^{'}(x)$는 항상 양수이다. 따라서 $t = 1$이고 $t$의 정의에 따라 $a = g^{-1}(1) = 0$이다.

 

3. $f(x)$ 결정하기

문제 분석 과정에서 구한 $f^{'}(1) = 8$을 이용해 $b$의 값도 구해보자.

$f^{'}(1) = (1 - b)^2 + 2(1 - b) = 8$

$(1 - b) = i$로 치환하면 $i^2 + 2i - 8 = 0$

$i = 2$ 또는 $i = -4$

 문제의 조건에서 $0 = a < b$이므로 $b = 5$

 

4.  결론

따라서, 구하려는 $f(8)$의 값은 $(8 - a)(8 - b)^2$이므로

$8 \times 3^2 = 72$

 

정답. 72