2021 수능 수학 (가)형 30번

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1.  문제 분석 및 풀이 설계

가장 먼저 문제에서 구하라고 하는 것의 형태가 어떠한지 살피는 습관을 들이자.
운이 좋다면 끝까지 풀지 않고도 답을 구할 수 있다.

 

$f(2)$의 값을 구하는 문제이다.

최고차항의 계수가 $1$로 주어진 것을 보았을 때 $f(x)$의 식을 특정짓는 문제일 가능성이 높다. 최고차항의 계수가 주어진 삼차함수를 특정짓기 위해서는 적어도 세 가지의 조건이 필요함을 염두에 두고 조건을 분석해 나가자.

 

무엇을 알고 있는지, 무엇을 구해야 하는지, 무엇이 필요한지 정리하자.

 

다행히도 $g(x) = f(\sin^{2} \pi x)$는 실수 전체에서 연속이다. 불연속점으로 인한 미분 불능, 함숫값의 급격한 변화 등을 생각할 필요가 없어졌다.

합성된 함수인 $\sin^{2} \pi x$는 우리가 완벽히 아는 함수이다. 그래프를 그려보면 다음과 같다. 

 

$ \sin^{2} \pi x $

대칭성과 주기성, 홀짝성, 연속성과 미분 가능성을 적극 활용하자.

 

대칭성과 주기성, 함수의 홀짝성은 반복되는 복잡한 계산을 막아줄 뿐만 아니라 킬러 문제 해결의 실마리가 되는 경우가 많으므로 반드시 주목하자.

$\sin^{2} \pi x $는 $x = 1/2$에 대하여 선대칭으로, $x = 1/2$을 기준으로 동일한 거리만큼 떨어진 점들의 미분계수는 절댓값이 같고 부호가 정반대이다.

또한 $\sin^{2} \pi x $는 주기 $1$을 가지는 주기함수로, 길이 $1$인 구간 내에서 최솟값 $0$과 최댓값 $1$이 반복된다. 

 

모든 $x$에 대해 $0 \leq \sin^{2} \pi x \leq 1$임을 고려할 때, 조건 (나)에서 주어진 함수 $g(x)$의 최댓값과 최솟값은 구간 $0 \leq y \leq 1$ 사이에서 함수 $f(y)$의 최솟값과 최댓값이기도 하다.

 

연속함수는 우리의 직관과 비슷하게 움직이기 때문에 다루기에 매우 편한 함수들이다. 연속함수, 또는 미분 가능한 함수가 문제에 등장했다면 해당 함수에서 성립하는 정리들을 마구마구 사용해주자.

2. $f(x)$의 극대, $g(x)$의 극대 분석하기

문제에서 함수 $g(x)$의 원형이 주어졌으므로 구간 $0 < x < 1$에서 $g(x)$의 극댓점을 찾기 위해 미분해보자.

 

$g^{'}(x) = f^{'}(\sin^{2} \pi x) \cdot 2 \sin \pi x \cos \pi x \cdot \pi = f^{'}(\sin^{2} \pi x) \cdot \sin 2 \pi x \cdot \pi$

 

도함수를 구했으니, 각 구간마다 경우를 나누어서 $f(\sin^{2} \pi x)$의 극댓점, 그리고 $g(x)$의 극댓점이 존재하는지 확인해보자.

 

    1.  $0 < x < 1/2$ 또는 $1/2 < x < 1$

 

이 구간에 $g(x)$의 극댓점이 존재한다면 반드시 조건 $f^{'}(\sin^{2} \pi x) = 0$을 만족해야 한다.

 

하지만 이것만으로 충분하지는 않다. 증감표를 이용해 $f^{'}(\sin^{2} \pi x) = 0$을 만족하는 점 주변에서 $g^{'}(x)$의 변화를 따지는 방법도 있지만, $g(x)$가 충분히 '좋은' 함수이기 때문에 여기에서는 이계도함수 판정법을 이용해 극댓점의 조건을 알아보자. 

 

$g^{''}(x) = f^{''}(\sin^{2} \pi x) \cdot (\sin 2 \pi x)^{2} \cdot \pi^2 + f^{'}(\sin^{2} \pi x) \cdot \cos 2 \pi x \cdot 2 \pi^{2}$

 

우리가 관심있어 하는 점은 미분계수가 $0$인 점이므로, 두 번째 항은 무시할 수 있다. 또한, $(\sin 2 \pi x)^{2}$는 항상 양수이므로, 결국 $g(x)$의 극댓점은 오직 $f(\sin^{2} \pi x)$의 극댓점에서만 발생한다는 것을 알 수 있다.

 

$f(\sin^{2} \pi x)$는 선대칭함수이기 때문에, 만약 $0 < x < 1/2$에서 $x = t$가 극댓점이라면 $x = 1 - t$ 역시 극댓점이 되어 이 구간 내에서 극댓점은 쌍(pair)으로 존재한다. 만약 극댓점이 홀수 개라면, 이 범위 밖에서도 극댓점이 존재해야 한다.

 

임의의 삼차함수의 그래프. 극댓점과 동일한 함숫값을 가질 수 있는 점은 최대 한 곳이다.

또한 삼차함수의 특징 상, 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수의 극댓점과 동일한 함숫값을 가질 수 있는 점은 오직 한 군데 뿐이다. 

조건 (가)에 따라 이 점 역시 극점이 되어야 하지만, 구간 $0 < x < 1/2$과 $1/2 < x < 1$에서는 이 점을 찾을 수 없었다.

 

    2. $x = 1/2$

 

여기까지 잘 진행했다면 $x = 1/2$가 $g(x)$의 극댓점이라는 것을 알 수 있다. 이로써 조건 (가)에서 주어진 3개의 극댓점을 모두 찾았다.

 

보다 확실하게 극댓점임을 보이고 싶다면 증감표를 이용해 $1/2$ 주위에서 도함수 값의 변화를 조사하거나, 이계도함수 판정법을 이용하면 된다. 여기에서는 증감표를 이용한 분석을 소개한다.

 

$g^{'}(x) = f^{'}(\sin^{2} \pi x) \cdot \sin 2 \pi x \cdot \pi$

 

	$1/2 - \delta$	$1/2$	$1/2 + \delta$
$\sin \pi x$	$+$	$1$	$+$
$\sin 2 \pi x$	$+$	$0$	$-$
$g^{'}x$	$+$	$0$	$-$
	증가		감소

따라서 $x = 1/2$는 $g(x)$의 극댓점이다. 

 

3.  함수의 최댓값 분석하기

어떤 닫힌 구간 내에서 최댓점의 후보가 될 수 있는 점은 극댓점과 구간 양 끝점뿐이다 (보다 풀어 쓰자면 만약 어떤 구간의 내부(interior)에서 연속함수의 최대/최소가 발생했다면 그 점은 반드시 극점이어야 한다). 

 

구간 $0 \leq y \leq 1$ 사이에서 $f(x)$의 최댓값을 분석하기 위해 위의 정리를 사용해보자. 

• 구간의 왼쪽 끝점 ($y = 0$)에서의 함숫값은 극댓값보다 항상 작으므로 최댓점이 될 수 없다.

• 구간의 오른쪽 끝점 ($y = 1$)에서의 함숫값은 $g(1/2)$로, $g(x)$의 극댓점이기도 하다. 이 점은 최댓점이 될 수 있다.

• $f(y)$의 극댓점은 $g(x)$의 극댓점이기도 하다. 이 점은 최댓점이 될 수 있다.

조건 (가)에서 극댓값이 모두 같다는 단서와 조건 (나)에서 주어진 최댓값 $1/2$을 고려하면 $f(1) = 1/2$을 얻을 수 있다. 또한, $f(y)$의 극댓값 역시 $1/2$이다.

 

4.  함수의 최솟값 분석하기

어떤 닫힌 구간 내에서 최솟점의 후보가 될 수 있는 점은 극솟점과 구간 양 끝점뿐이다 (보다 풀어 쓰자면 만약 어떤 구간의 내부(interior)에서 연속함수의 최대/최소가 발생했다면 그 점은 반드시 극점이어야 한다). 

 

이제 구간 $0 \leq y \leq 1$ 사이에서 $f(x)$의 최솟값에 대한 단서를 이용해보자. 

• 구간의 왼쪽 끝점 ($y = 0$)은 최솟점이 될 수 있다.

• 구간의 오른쪽 끝점 ($y = 1$)은 최댓점이다. 삼차함수의 두 극점이 존재하는 상황에서 이 점은 최솟점이 될 수 없다.

• $f(y)$의 극솟점은 최솟점이 될 수 있다.

 

    1. $f(y)$의 극솟점에서 최솟값을 가질 때

 

이제까지 얻은 정보를 바탕으로 $f(y) = 1/2 + (y - p)^2(y-1)$이라고 식을 세워보자. 극댓값과 극솟값이 구간 안에 존재하기 위해서는 $0 < p < 1$이어야 한다.

 

$f^{'}(y) = (y - p)(3y-2-p) = 0$

$y = p$에서 극댓값, $\displaystyle y = \frac{2 + p}{3}$에서 극솟값을 가진다.

$\displaystyle f(y = \frac{2 + p}{3}) = 1/2 + 4(\frac{(p - 1)}{3})^3 = 0$

$\displaystyle \therefore p = -\frac{1}{2}$

 

극솟점에 구간 안에 속하지 않으므로 이 경우는 우리가 원하는 경우가 아니다.

 

    2. 구간 왼쪽 끝점 $y = 0$에서 최솟값을 가질 때

 

$f(0) = 0$. 간단하다.

 

5.  계산, 계산, 계산.

 $f$를 결정짓기 위한 3가지의 조건이 나왔다. 이제 계산을 해보고 조건이 더 필요하다면 다른 조건을 찾아보자.

 

$f(y) = 1/2 + (y - p)^2(y-1)$

$f(0) = 1/2 - p^2 = 0$

$\displaystyle \therefore p = \frac{1}{\sqrt{2}}$

 

추가 조건 필요 없이 $f$가 결정되었다. 이제 답을 쓰러 가자.

 

6.  결론

따라서, 구하려는 $f(2)$의 값은

 

$1/2 + (2 - \frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 5 - 2\sqrt{2}$

$a = 5, b = -2$이므로 $a^2 + b^2 = 29$ 

 

정답. 29